Ma trận và vector với NumPy

Dẫn nhập

Trong bài trước, Kteam đã GIỚI THIỆU MACHINE LEARNING VÀ CÀI ĐẶT NUMPY , giúp các bạn một phần hiểu được bản chất của Machine Learning.

Ở bài này chúng ta sẽ cùng nhau tìm hiểu về Ma trận và vector với NumPy. Với bài này, Kteam sẽ giới thiệu đến các bạn một nội dung khá “toán học”, vì thế nếu cảm thấy mệt mỏi, hoa mắt, chóng mặt, trời đất quay cuồng thì hãy nghĩ ngơi một lúc 😊

Lưu ý: Một số nội dung được trình bày trong video vẫn có thể chưa hoàn toàn chính xác. Vì vậy, sau khi tham khảo góp ý từ cộng đồng , Kteam đã có hiệu chỉnh học  liệu và cách diễn đạt các định nghĩa trong bài viết để nội dung có thể đi sát hơn với các tài liệu toán học.  

---

Nội dung

Để theo dõi bài này tốt nhất bạn cần có kiến thức về:

• LẬP TRÌNH PYTHON CƠ BẢN
• Xem qua bài GIỚI THIỆU MACHINE LEARNING VÀ CÀI ĐẶT NUMPY

Trong bài này chúng ta sẽ cùng tìm hiểu về:

• Định nghĩa ma trận và vector
• Cách khởi tạo ma trận và vector
• Các toán tử với ma trận
• Identify matrix và Transpose matrix
• Ý nghĩa của ma trận và vector trong Machine Learning

---

Ma trận (matrix) với NumPy

Định nghĩa

Ma trận là một mảng 2 chiều. Trong Python mảng 2 chiều có thể xem là một List của List.

Kích thước

Kích thước của 1 ma trận = số hàng * số cột.

Ví dụ:

Ma trận B có 4 hàng và 3 cột: ma trận 4 x 3

Bạn cũng có thể hiểu ma trận là một sheet với số hàng và số cột nhất định trong excel.

---

Vector với NumPy

Định nghĩa

Vector là ma trận với 1 cột và nhiều hàng (n * 1)

Kích thước

Kích thước của vector (còn được gọi là chiều vector – vector dimension) là số hàng của vector.

Ví dụ:

• Vector có 4 hàng là vector 4 chiều.
• Vector tương tự như 1 cột trong excel với số hàng nhất định.

---

Khởi tạo ma trận và vector với NumPy

Khởi tạo ma trận

Ta có thể khởi tạo ma trận với NumPy bằng np.array:

np.array(object, dtype=None, ndmin=0)

Trong đó:

• Object: một mảng 2 chiều, ta có thể sử dụng một list của list.
• dtype: kiểu dữ liệu của các phần tử trong ma trận
• ndmin: số chiều tối thiểu khi return object, nên đặt = 2 để tiện cho việc indexing ma trận cho Machine Learning.

Lưu ý: trừ object, các parameter khác khi truyền vào phải có key_arg.

Ví dụ:

import numpy as np #import numpy and uses shorter keyword
_A = [ [1, 2, 3], [4, 5, 6] ] #array-like object  
A = np.array(_A) #create a 2-dimension array (matrix) from _A 
print(A) #print matrix A

Ma trận này cũng tương tự như bảng sau:

Khởi tạo vector

Ta khởi tạo vector như ma trận nhưng chỉ có 1 cột (mảng 1 chiều). Ta có thể xem đây là 1 List.

import numpy as np #import numpy and uses shorter keyword
_a = [ 1, 2, 3, 4 ] #array-like object  
a = np.array(_a) #create a 1-dimension array (vector) from _a 
print(‘Vector 4 chiều:’, a) #print vector a

Ví dụ:

---

Indexing ma trận và vector

Ta có thể indexing ma trận và vector theo cấu trúc:

Matrix_name[row_index, column_index]

Trong đó:

• Row_index, column_index có thể là kí tự ‘:’ với ý nghĩa lấy toàn bộ những phần tử theo hàng/ cột.

Ví dụ:

import numpy as np #import numpy and uses shorter keyword
_a = [ [ 1, 2, 3 ], [ 4, 5, 6 ] ] #array-like object  
a = np.array(_a) #create a 2-dimension array (matrix) from _a 
print(‘a[0, 1]:’, a[0, 1]) #print a[0, 1] element
print(‘a[:, 0]:’, a[:, 0]) #print a[:, 0] elements
print(‘a[1, :]:’, a[1, :]) #print a[1, :] elements

---

Các toán tử với ma trận và vector

Cộng và trừ với ma trận

Các phép toán cộng và trừ với ma trận là phép toán “element-wise”, nghĩa là phép toán với từng phần tử tương ứng.

Tương tự với trừ:

Lưu ý: Để cộng và trừ 2 ma trận, kích thước của cả hai phải giống nhau.

Ví dụ :

import numpy as np
_a = [ [ 1, 2, 3 ], [ 4, 5, 6 ] ]
_b = [ [ 2, 3, 5], [7, 9, 21] ]
a = np.array(_a) #create 2 * 3 matrix: a
b = np.array(_b) #create 2 * 3 matrix: b
print(‘a + b:’, a + b) #print out a + b
print(‘a – b:’, a – b) #print out a - b

Nhân và chia ma trận với số

Để nhân và chia ma trận với số, ta chỉ cần nhân/chia từng phần tử của ma trận với số đó.

Tương tự với chia:

Ví dụ:

import numpy as np
_a = [ [ 3, 2, 1 ], [ 2, 4, 6 ] ]
a = np.array(_a)
print(‘a / 2:’, a / 2) #print out a / 2
print(‘a * 2:’, a * 2) #print out a * 2

Nhân ma trận với vector

Khi nhân ma trận với vector, ta lấy các phần tử trong cột số của vector nhân lần lượt với các hàng của ma trận để được các tích, sau đó lấy tổng của các tích rồi cho vào từng hàng của kết quả. Chúng ta có thể hình dung như sau:

Kết quả của phép tính luôn là một vector. Số cột của ma trận phải bằng với số hàng của vector.

Một ma trận m * n nhân với một vector n * 1 sẽ có tích là một vector m * 1

Phân tích

Đầu tiên, ta xoay ngang vector    lại thành  

Sau đó nhân lần lượt từng dòng của ma trận với  : 

  

Cuối cùng lấy tổng của từng hàng:   

Phép nhân ma trận – vector trong NumPy

Trong NumPy, để nhân ma trận với vector như trên, ta có thể dùng:

   Matrix_name.dot(vector)

Từ phiên bản 3.5 trở lên Python đã hỗ trợ toán tử @:

  Matrix @ vector

Để hiểu rõ hơn, chúng ta cùng đi đến Ví dụ:

import numpy as np
_a = [ [ 1, 2 ], [ 3, 4 ], [ 5, 6 ] ]
a = np.array(_a) #Create a 3 * 2 matrix
_b = [ 1, 2 ]
b = np.array(_b) #Create a 2-dimension vector
print(a)
print(b)
print(‘a * b:’, a.dot(b)) #print out a * b using narray.dot()
print(‘a * b:’, a @ b) #print out a * b using @ operation

Thực hiện từng bước:

Đầu tiên xoay ngang b:

 
Nhân từng dòng a với b: 

Kết quả phép nhân là tổng từng dòng

Nhân ma trận với ma trận

Chúng ta nhân 2 ma trận bằng cách tách 1 ma trận ra thành nhiều vector rồi nhân, sau đó ghép các kết quả lại.

                                 

Để nhân 2 ma trận, số cột của ma trận 1 phải bằng số hàng ở ma trận 2.

Một ma trận m * n nhân với một ma trận n * o sẽ cho kết quả là một ma trận m * o

Phân tích

Đầu tiên tách ma trân thứ 2 thành 2 vector nhỏ:   thành     và  

Nhân ma trận đầu lần lượt với 2 vector  và  : ;   ;

Kết quả là 2 vector có cùng kích thước:  và 

Cuối cùng, ghép 2 vector lại với nhau: 

Phép nhân ma trận – ma trận với NumPy

Cũng như nhân ma trận với vector, trong NumPy ta có thể dùng:

  Matrix1.dot(matrix2)

Hoặc

Matrix1 @ matrix2

Ví dụ:

import numpy as np
_a = [ [ 1, 2 ], [ 3, 4 ], [ 5, 6 ] ]
a = np.array(_a) #Create a 3 * 2 matrix
_b = [ [1, 3], [2, 1] ]
b = np.array(_b) #Create a 2 * 2 matrix
print(a)
print(b)
print(‘a * b:’, a.dot(b)) #print out a * b using narray.dot()
print(‘a * b:’, a @ b) #print out a * b using @ operation

Thực hiện từng bước:

 

Đầu tiên tách ma trân thứ 2 thành 2 vector nhỏ:    thành   và 

Nhân ma trận đầu lần lượt với 2 vector  và :  

Kết quả là 2 vector có cùng kích thước:   và 

Cuối cùng, ghép 2 vector lại với nhau: 

Tính chất của phép nhân ma trận

Phép nhân ma trận không có tính chất giao hoán.

Phép nhân ma trận có tính chất kết hợp.

Identity matrix (ma trận đơn vị)

Identity matrix là ma trận mà khi nhân với bất kì ma trận khác cùng kích thước, ma trận đó sẽ không đổi. Phép nhân với identity matrix có tính chất giao hoán. Chúng ta có thể xem identity matrix là “số 1” của ma trận.

Cấu trúc của identity matrix là 1 ma trận có số 1 trên đường chéo.

Ví dụ:

Ta có thể tạo một identity matrix trong NumPy bằng hàm eye:

np.eye(x)

Với x là kích thước của identity matrix.

Ví dụ:

import numpy as np
a = np.eye(5)
print(a)

Phép nhân “element-wise” với ma trận

Đối với phép nhân element-wise, kết quả sẽ là một ma trận với những phần tử là tích của các phần tử là tích của 2 phần tử tương ứng trong 2 ma trận.

Với NumPy, ta có thể thực hiện phép nhân element-wise bằng toán tử *

Ví dụ:

import numpy as np
_a = [ [ 1, 2, 3 ], [ 4, 5, 6 ] ]
_b = [ [ 2, 3, 5], [7, 9, 21] ]
a = np.array(_a) #create 2 * 3 matrix: a
b = np.array(_b) #create 2 * 3 matrix: b
print(‘a .* b:’, a * b) #print out a .* b

Toán tử logic với ma trận

Ta hoàn toàn có thể thực hiện các toán tử logic với ma trận. Kết quả trả ra sẽ được ghi vào một ma trận với kích thước tương đương.

Ví dụ:

import numpy as np
a = np.eye(5)
print(a == 1)

---

Inverse matrix (ma trận khả nghịch)

Inverse matrix được kí hiệu bằng: A^-1

Tích của ma trận với ma trận đảo của nó sẽ là một Identity matrix.

Tương tự như trong số tự nhiên: 2 * 2^-1 = 1

Với NumPy function dùng để invert matrix là:

   np.linalg.pinv(matrix)

Ví dụ:

import numpy as np
_a = [ [1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9] ]
a = np.array(_a)
a_i = np.linalg.pinv(a) #Create inverse of a
print(a_i)
print(a @ a_i)

Lưu ý: Identity matrix này hiển thị giá trị rất nhỏ thay cho số 0, ta có thể làm tròn để có identity matrix chính xác. Một số ma trận không thể invert.

---

Transpose matrix (ma trận chuyển vị)

Transpose matrix được kí hiệu là: A^T

Transpose matrix là ma trận đảo hàng và cột so với ma trận gốc.

Với NumPy ta sử dụng function np.transpose() để transpose matrix.

Ví dụ:

import numpy as np
_a = [ [1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9] ]
a = np.array(_a)
a_t = np.transpose(a) #Create transpose of a
print(a)
print(a_t)

---

Hàm size với ma trận

Chúng ta có thể sử dụng hàm size để lấy kích thước của ma trận:

np.size(matrix, axis)

Trong đó:

• matrix: ma trận cần tìm kích thước
• axis: chiều, nếu là 0 sẽ trả về số hàng, 1 trả về số cột, mặc định trả về số phần tử.

Ví dụ:

import numpy as np
_a = [ [1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9] ]
a = np.array(_a)
print(np.size(a))
print(np.size(a, 1))

---

Hàm sum và max/min với ma trận

Chúng ta có thể sử dụng hàm sum để lấy tổng các phần tử, max để lấy phần tử lớn nhất, min để lấy phần tử nhỏ nhất.

Cấu trúc:

np.sum(matrix,axis)

np.max(matrix,axis)

np.min(matrix,axis)

Trong đó

• matrix: ma trận cần tìm kích thước
• axis: chiều, nếu là 0 sẽ tính theo cột, 1 sẽ tính theo hàng, mặc định sẽ tính trên cả ma trận.

Ví dụ:

import numpy as np
_a = [ [1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9] ]
a = np.array(_a)
print(np.sum(a, 0))
print(np.max(a))
print(np.min(a, 1))

---

Ý nghĩa của ma trận trong Machine Learning

Đối với Machine Learning, chúng ta phải xử lí những dữ liệu với số lượng rất lớn, ta không thể cứ dùng vòng lặp duyệt qua từng dữ liệu được vì sẽ thiếu tối ưu về tốc độ. Vì thế chúng ta cần một công cụ mạnh hơn để xử lí những dữ liệu số lượng lớn, đó là ma trận. Với các phép tính với ma trận, chỉ cần 1 dòng lệnh ta đã có thể cùng lúc thực hiện phép tính trên nhiều dữ liệu.

---

Kết luận

Bài viết này đã hướng dẫn cho các bạn về ma trận và vector với NumPy.

Ở bài sau, Kteam sẽ giới thiệu về THUẬT TOÁN LINEAR REGRESSION VÀ HÀM HYPOTHESIS

Cảm ơn bạn đã theo dõi bài viết. Hãy để lại bình luận hoặc góp ý của mình để phát triển bài viết tốt hơn. Đừng quên “Luyện tập – Thử thách – Không ngại khó”.

---

Thảo luận

Nếu bạn có bất kỳ khó khăn hay thắc mắc gì về khóa học, đừng ngần ngại đặt câu hỏi trong phần BÌNH LUẬN bên dưới hoặc trong mục HỎI & ĐÁP trên thư viện Howkteam.com để nhận được sự hỗ trợ từ cộng đồng.